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「時間の流れ」は人によって異なる?双子のパラドックスについて

本来同じように年を重ねる双子。それが年齢が異なり、しかも兄の方が年上……。

常識では考えられない現象だが、光速に限りなく近づいた世界ではこのような奇妙な出来事が起こりうるとされている。

宇宙や時間などを題材にした映画などで度々見受けられるあっちとこっちの時間のズレ。今回はそんなパラドックスの一例である「双子のパラドックス」を考えていく。

双子のパラドックスの内容

あるところに双子の兄弟がいた。

兄はこの広大な未知なるものを探求するために宇宙飛行士の職に就き、弟は一流企業に就職した。

兄の乗ったロケットは地球からはるか6光年離れたH星に向かっており、そこを折り返して地球に戻ってくる。往復12光年の旅だ。

ロケットは科学技術の粋を集めて作られたものでどのような急加速、急減速も可能とする高性能なものだ。

地球に残った弟からロケットを観測した場合、ロケットが超高速でH星まで遠ざかっていき、Uターンして急接近してくるように見えるだろう。相対性理論の効果によれば光に近い速度で運動する物体の時間の進みは遅くなるので、再開時には兄の方が若くなるはずだ。

しかし、ここで疑問を抱く人が現れた。「確かに弟の立場から見れば高速で運動しているのはロケットだけど、兄の立場から見れば地球のほうが高速で遠ざかったり近づいたりしているように見て取れるし、特殊相対性理論によれば、お互いに相手の方が動いているとみなし、自分が絶対に静止していると主張することはできないはず。だから年を取っているのは兄の方なんじゃない?どっちが老けているの?」。

兄と弟、それぞれの立場によって全く反対の結論を導くことができる。これが思考実験の一つ、「双子のパラドックス」の内容だ。

老けているのは兄?弟?

結論を先に述べておくと、双子のパラドックスの正しい回答は「地球に残った弟の方がロケットの兄よりも年を取る」である。

だがどこが誤りだったのだろうか。地球側から見れば自分たちが止まっており、ロケットが運動しているように見える。しかしロケット側から見れば地球の方が運動しているように見える。一見すると特に問題はないように思える。

ではこの兄弟の年齢差はどこでついたのか解決していこう。

時間の流れは人によって異なる

アルバート・アインシュタイン(1879-1955)の提唱した相対性原理は一般にも広く知れ渡っているが、今回のメインはその300年以上前の物理学者ガリレオ・ガリレイ(1564~1642)が提唱したガリレイの相対性原理の方だ。のちの特殊相対性理論にもつながる理論である。

ガリレイの相対性原理は、絶対的な静止系を否定する。自分が同じ座標にとどまっていたと主張したとしても地球は時速約1700キロメートルで自転しているし、太陽の周りをさらに速い速度で公転している。

光も物質も空間を移動しており、それを観測する私たちも地球の自転や公転によって運動している。こちらから見ればあちらが動いている。しかしあちらから見ればこちらが動いている。

自身のいる位置や速度などは他と比較した際の相対的なもので、力学的な特権を保有する観測者はいないことを意味する。

言葉にするのは難しいのでガリレイの考えた例を引き合いに出す。

一定の速度で海を航海する船のマストから球を真下に落とした場合を考える。

岸にいる人から見れば、球は放物線を描いて前方に落下しているように見える。だが、船に乗っている人や同じ速度で並走している船から見た場合、球が真下に落ちているように見える(船が停止している時と同じように観測されるはずだ)。

岸にいる人から観測された球の挙動。だが、船にいる人から観測すると真下に落ちているように見える。

ガリレイはこの現象を踏まえて、私たちのいる場所が動いていようが、止まっていようが、そこで観測される物体の運動は同じに見える、と考えた。

自分のいる座標の運動を考慮しなくていいのならば、お互いに相手の方が動いているとみなすことができる。電車の窓から景色を見ている時も、電車ではなく景色の方が運動していると考えてもいいことになる。

しかし、先の例の球を光に置き換えると不可解なことが起こる。マイケルソン=モーレーの実験により、光はどんな立場、角度から見ても一定の速度で観測される(=光速度不変の原理)が判明した。運動とは相対的なものであるはずなのに、光は既存の理論をあざ笑うかのように絶対的な運動をするのである。ガリレイの相対性理論は修正を余儀なくされた。

そこで、アインシュタインはガリレイの相対性理論を光にも対応できるように拡張することを提案した。その理論こそが光速度不変の原理と特殊相対性原理を土台とした「特殊相対性理論」である。

光速に近づくほど流れる時間は遅くなる

特殊相対性理論が導き出した結論によると、速く動く物体は時間の進みが遅くなる。そして、それは光の速度に近づくほど顕著なものになって現れるようだ。

例えば、等速直線運動をする電車を線路脇から眺める状況を想定しよう。

電車内部で運動している人を観測者A、線路脇で静止している人を観測者Bとする。なお、観測者A,Bそれぞれには「光時計」が設置されている。

光時計は、高さ約30万キロメートルの円筒状で、下部に光源が設置されており、上部に到達するとセンサーが反応して丁度1秒をカウントできる仮想の時計だ。

まず、電車内にいる観測者Aが光時計の挙動を観察する。

下部から発射された光は上へ、光速度不変の原理に従って秒速30万キロメートルで走る。そしてセンサーが反応して1秒が刻まれる。

だが、観測者Bからはそうは見えない。下部の光源から発射された光は、電車が進んだ距離に応じて、光の軌道も斜めになる。そのため、光が光時計上部に到達するまでには直交に進んだ光よりも長い距離を移動しなければならない。

光の速度は光速度不変の原理に従い、秒速30万キロメートルのままだとすると、地表で1秒が経過しても運動している電車の光時計の光はまだ上部に到達していない。つまり、観測者Bから見れば時間が遅れているように見えるのである。

ただし、この時間の遅れはあくまでも観測者Bから見た場合であり、移動している当人にはその自覚はないと考えられている。

また、逆に電車内部から線路脇の光時計を観測すると、観測者Bの光時計の方が遅れて見える。

これは観測者Aを基準とすれば、観測者Bの光時計が運動しているため、光の軌道が斜めになる。そして、30万キロメートルよりも長い距離を移動する必要に迫られた光は遅れて上部に到達するはずである。

双方が相対的な運動をしている際にお互いに相手の時間が遅れて見える。つまり、絶対的な時間の尺度、味方などはなく、観測者の見方によって変化する。

これが特殊相対性理論が予想している「相対性」である。

双子のパラドックスの解決法「一般相対性理論を用いた考え方」

双子のパラドックスはこの時間の相対性を逆手に取ったものであろう。

しかし、忘れてはならないのは、お互いに相手の時間が遅れて見えるという状況が成り立つのは観測者が慣性系(等速直線運動をしているか静止している)に限られるという点だ。

ロケットが遠く離れた星へ向かって一定速度で運動している時は確かに慣性系とみなすことができる。

だが、ロケットには地球を飛びだって光速近くに達する時や逆方向に向きを変える時、必ず速度が変化する期間が存在する

エンジンが再点火され、宇宙船全体が振動し、兄は強烈なGによって壁に押し付けられる。要するに、ロケットは途中で加速運動をしている期間が存在するため純粋な慣性系ではない。すべての期間を通して慣性系にとどまっているのは地球で留守番をしている弟のみとなる。

地球も宇宙スケールで見ると運動しているととることもできるが、今回はロケットと地球、2者間でどちらが加速運動をしているのかがポイントになるため、地球は慣性系とみなすことができる。

ここで問題となるのが、加速運動する場所から観測している状態で発生する「慣性力」だ。一般相対性理論によると、この慣性力は重力と本質的に同じであり(=等価原理)、力学的にも区別がつかないものだという。

また、大きな重力を持つ天体の近くでは空間がゆがむことで時間の流れが遅くなる。この時間の遅れは特殊相対性理論の「お互い様」のものとは異なり、重力ポテンシャル(その空間を支配するエネルギー)の高い場所が一方的に遅れることとなる。

この等価性と重力による時間の遅れを考慮すると、パラドックスが解消される。

ロケットが飛び立って加速する期間をA、星にたどり着きUターンのために減速する期間をB、再度エンジンを起動させ、地球を向けて加速する期間をC、地球へ着陸するために減速する期間をDとする。

Aの期間ではエンジン点火による加速運動により生み出された局所的な地球方向への慣性力は重力とみなすことができる。高い重力ポテンシャルが発生するため時間の進みが遅くなる。

エンジンを逆噴射させて減速を行うBの期間では、Aとは逆にH星方向への慣性力が発生する。減速が作り出す慣性力も重力と同等に扱うことができるので、ここでも兄の時間は遅くなる。

C,Dの期間も上記の2つと同じ理由で時間の進みが遅くなるため、結果として加速しても減速しても兄には強い重力がかかり続ける、加速運動をする期間すべてで時間の進みが遅れることとなる。

加速運動に伴う時間の遅れはロケットの時間を一方的に遅れさせ、その後に慣性系に移行したとしてもこの遅れを取り戻すことはできない。兄が加速度によって壁に押し付けられている間、弟はその何倍もの時間経過を経験する。よって当初の結論である「兄よりも弟が年を取る」が導きだされるのである。

まとめ

・兄の乗ったロケットは加速運動をする期間が存在する。
・加速運動をする物体には重力と本質を同じくする「慣性力」が働く。
・重力ポテンシャルの高い場所では時間の流れが遅くなるため、加速/減速を伴う運動の最中は    ロケット内部の時間が遅れ、地球の時間が大きく進むこととなる。
・このズレは最後まで取り戻すことができず、結果的にロケットが地球に帰還した際に兄の方が若く、弟が年老いている。

この問題は特殊相対性理論と一般相対性理論の時間の遅れをごちゃ混ぜにした結果現れたものであり、最初からパラドックスなど存在しなかったのである。

おまけ:特殊相対性理論を用いた考え方

双子のパラドックスは一般相対性理論で考えることで、静止系を明らかにし、よりシンプルな答えを導き出すことができる。

しかし、ロケットが加速運動をおこなうのだから一般相対性原理でしか扱えないとするのは誤りである。加速度系を記述する式がややこしくなるだけで、双子のパラドックス程度ならば一般相対性理論を用いなくとも充分に説明することができる。

例えば、ロケットの速さを光速の60%とし、目標となる星までの距離を片道6光年とする。時間の遅れは相対性理論の計算式、S=1/√1-(V/C)2(C=光速、V=ロケットの速度)で求めることができ、それによると、弟がいる地球時間では20年経過していても、兄は16年しか経っていないことが求められる(地球の1.25年がロケットの1年に相当)。

兄、もしくは弟がこの間の記録をビデオカメラに収め、お互いに2年間隔で相手の送信する状況を想定する。そして、弟の20年と兄の16年、双方を滞りなく説明することができればパラドックスを解消することができる。

地球から遠ざかる兄から弟に信号を送信する場合、前述の計算により兄にとっての2年は弟にとっての2.5年となる。その間にも兄は光速の60%の速度で進むため、2.5×0.6=1.5(光年)で弟に情報が伝わるのは2.5+1.5=4(年)で4年間隔で受け取ることになる。

折り返して地球に近づきながら送信する場合は、進んだ分だけ信号が届く間隔が短くなる。情報が伝わる速度は2.5-1.5=1(年)で今度は1年間隔で信号が到着することとなる。

したがって、弟は兄が星へ向かって旅立つ8年分の映像を16年かけて観測し、地球へ帰還する映像8年分を4年かけて観測することとなる。

一方で、兄の立場から弟の映像を観測する場合には、兄ははじめの8年で弟の4年を観測し、残りの8年で弟の16年分の映像を観測することとなる。

兄の16年と弟の20年は特殊相対性理論を用いてもきちんと対応しているのが分かる。

だが、この仮説にはターニングポイントとなる目標惑星で方向転換する際に一瞬で折り返したり、ロケットの加速/減速を考慮に入れていなかったりと現実的でない前提が組み込まれている。

・『相対性理論を楽しむ本』佐藤勝彦【監修】後藤涼一【発行者】(PHP文庫、1998年発行)

・『相対性理論 常識への挑戦」Russell Stannard著 新田英雄訳(丸善出版、2013年発行)